Азиз Х: Математическое моделирование пластовых систем

Авторы: Х. Азиз, Э. Сеттари

Название: Математическое моделирование пластовых систем

Формат: PDF

Размер: 16,5 Mb

Год издания: 2004

 

Основная цель изучения пласта — предсказание его состояния и определение путей увеличения конечной нефтеотдачи. В классической теории разработки рассматривают осредненные объекты (балансная модель), для которых невозможно полностью учесть изменения параметров пласта и флюидов во времени и в пространстве. При моделировании с помощью вычислительных машин можно более детально исследовать пласт путем разбиения его на блоки (иногда на несколько тысяч) и применения к каждому из них основных уравнений фильтрации. Программы для цифровых вычислительных машин, с помощью которых выполняют необходимые расчеты при таких исследованиях, называются машинными моделями. Благодаря успехам, достигнутым с начала 50-х годов в области вычислительной техники и математического обеспечения, в настоящее время стало возможным создание проверенных на практике программ для моделирования некоторых очень сложных процессов, протекающих при осуществлении различных проектов разработки. Технология моделирования пластов постоянно совершенствуется, предлагаются новые модели для все более и более сложных процессов разработки. В этой книге рассмотрена наиболее существенная из всех пластовых моделей, известная как модель нелетучей нефти (black-oil model) или бета-модель. С помощью методов, используемых для создания моделей нелетучей нефти, можно разобраться и в более сложных моделях. На прак тике используют следующие равноценные термины: математические модели, численные модели, сеточные модели, конечно-разностные модели и пластовые модели. В действительности же в процессе разработки программы для моделирования пласта применяют три вида моделей.

Математическая модель

Моделируемая физическая система описывается соответствующими математическими уравнениями. При этом почти всегда требуются некоторые допущения, необходимые с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. Например, каждый инженер-нефтяник знает, что теория относительной проницаемости имеет ограничения, но поскольку иной теории нет, используется это понятие. Математические модели составляют (см. гл. 2) на основе системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.

Численная модель

Уравнения, описывающие математическую модель пласта, почти всегда настолько сложны, что их невозможно решить аналитическими методами. Чтобы представить уравнения в форме, пригодной для решения на цифровых вычислительных машинах, следует их аппроксимировать. Численная модель состоит из полученной системы уравнений.

Машинная модель

Машинная модель пласта — это программа или система программ для вычислительной машины, составленная с целью решения уравнений численной модели. В этой книге моделирование нефтяных пластов — это использование машинных моделей для решения практических задач.

 

Содержание

Предисловие

Условные обозначения

Глава 1.

Введение

1.1. Что такое машинная модель

1.1.1. Математическая модель

1.1.2. Численная модель

1.1.3. Машинная модель

1.2. Другие модели

1.3. На какие вопросы может ответить машинная модель?

Глава 2.

Уравнения фильтрации флюидов

2.1. Введение

2.2. Закон сохранения массы

2.2.1. Однофазная фильтрация

2.2.2. Многофазная фильтрация

2.3. Закон Дарси

2.3.1. Однофазная фильтрация

2.3.2. Многофазная фильтрация

2.4. Основные уравнения фильтрации

2.4.1. Однофазная фильтрация

2.4.2. Многофазная фильтрация

2.4.3. Использование псевдопотенциала

2.4.4. Граничные условия

2.5. Другие формы уравнений многофазной фильтрации

2.5.1. Представление в параболической форме

2.5.2. Представление в гиперболической форме

2.6. Уравнения фильтрации, не подчиняющейся закону Дарси

2.6.1. Большие скорости фильтрации (инерционные и турбулентные эффекты)

2.6.2. Пороговые явления и явления проскальзывания

2.6.3. Неньютоновская фильтрация

2.6.4. Другие эффекты

2.7. Свойства флюидов и породы

2.7.1. Свойства флюидов

2.7.2. Свойства породы

2.8. Заключительные замечания

Упражнения

Глава 3.

Одномерная однофазная фильтрация

3.1. Введение

3.2. Конечно-разностные аппроксимации

3.2.1. Дискретизация по пространству

3.2.2. Дискретизация во времени

3.2.3. Погрешности дискретизации

3.3. Другие избранные методы

3.3.1. Явные методы

3.3.2. Другие неявные методы

3.3.3. Методы с использованием системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE-методы)

3.3.4. Сравнение методов

3.4. Типы сеток и граничные условия

3.4.1. Два способа построения сетки

3.4.2. Граничные условия

3.5. Дискретизация уравнений одномерного течения флюидов в декартовых координатах

3.5.1. Разностные уравнения для неравномерной сетки

3.5.2. Разностные уравнения в матричной форме

3.5.3. Учет переменных коэффициентов

3.6. Дискретизация одномерных уравнений фильтрации в радиальных цилиндрических координатах

3.6.1. Разностные уравнения для неравномерной сетки

3.6.2. Разностные уравнения в матричной форме

3.6.3. Учет переменных коэффициентов

3.7. Некоторые свойства конечно-разностных уравнений

3.7.1. Существование решения и материальный баланс

3.7.2. Учет нелинейностей

3.8. Выводы

Упражнения

Глава 4.

Решение систем уравнений с трехдиагональными матрицами

4.1. Введение

4.2. Методы решения

4.2.1. Алгоритм Томаса

4.2.2. Алгоритм Танга

4.2.3. Решение систем уравнений с симметричными трехдиагональными матрицами

4.2.4. Специальные случаи существования неединственного решения

4.2.5. Другие специальные случаи

Упражнения

Глава 5.

Одномерная многофазная фильтрация

5.1. Введение

5.2. Метод совместного решения

5.2.1. SS-метод для двухфазной фильтрации

5.2.2. Использование SS-метода при расчетах трехфазной фильтрации

5.2.3. Другие формулировки SS-метода

5.3. Метод, неявный по давлению, явный по насыщенности

(IMPES-метод)

5.3.1. IMPES-метод для случая трехфазной фильтрации

5.3.2. Другие варианты IMPES-метода

5.4. Анализ SS- и IMPES-методов

5.4.1. Устойчивость решений

5.4.2. Существование и единственность решения

5.4.3. Сходимость решений

5.5. Учет нелинейностей

5.5.1. Взвешивание проводимостей

5.5.2. Аппроксимация проводимостей во времени

5.5.3. Нелинейность, обусловленная функцией Рс

5.5.4. Просачивание газа

5.6. Метод последовательного решения (SEQ-метод)

5.6.1. SEQ-метод при двухфазной фильтрации

5.6.2. Другие формы и способы получения уравнений SEQ-метода

5.6.3. Численные результаты

5.6.4. SEQ-метод в случае трехфазной фильтрации

5.6.5. Выводы

5.7. Учет членов отбора

5.7.1. Дифференциальная форма граничных условий

5.7.2. Дискретизация граничных условий

Упражнения

Глава 6.

Решение систем уравнений с блочно-трехдиагональными матрицами

6.1. Введение

6.2. Методы решения

6.2.1. Обобщение алгоритма Томаса

6.2.2. Применение методов, используемых для ленточных матриц

Глава 7.

Однофазная двумерная фильтрация

7.1. Введение

7.2. Классификация двумерных задач

7.2.1. Задачи на площади с координатами х, у

7.2.2. Задачи для вертикального сечения с координатами х, z

7.2.3. Задача с одной скважиной в координатах r, z

7.2.4. Ком1.ментарии к двумерным моделям

7.3. Дискретизация уравнений фильтрации

7.3.1. Разностные аппроксимации

7.3.2. Устойчивость разностных схем

7.4. Граничные условия

7.4.1. Границы «без расхода» (непроницаемые границы)

7.4.2. Границы «с расходом»

7.4.3. Дискретизация граничных условий

7.5. Начальные условия

7.6. Учет нелинейностей

7.7. Учет давления в отдельных скважинах

7.8. Уравнения в матричной форме

7.9. Специальные методы для двумерных задач

7.9.1. Явные методы переменных направлений (ADE-методы)

7.9.2. Неявный метод переменных направлений (ADE-метод) и связанные с ним методы

7.9.3. Сравнение методов

7.10. Способы построения сеток

7.10.1. Неравномерные двумерные сетки

7.10.2. Использование криволинейной сетки

7.11. Заключительные замечания

Упражнения

Глава 8

Решение систем уравнений с пятидиагональными матрицами

8.1. Введение

8.2. Прямые методы решения

8.2.1. LU-разложение матрицы

8.2.2. Упорядочение уравнений

8.2.3. Методы для разреженных матриц

8.3. Итерационные методы

8.3.1. Поточечный метод Якоби

8.3.2. Поточечный метод Гаусса — Зейделя

8.3.3. Поточечный метод верхней релаксации (SQR-метод)

8.3.4. Линейный и блочный SOR-методы

8.3.5. Методы аддитивной коррекции

8.3.6. Итерационные неявные методы переменных направлений

(AD 1-методы)

8.3.7. Строго неявный метод

8.3.8. Другие методы

8.3.9. Сравнение итерационных методов

8.3.10. Практические выводы об использовании итерационных -методов

8.4. Сравнение итерационных и прямых методов

8.5. Заключительные замечания

Упражнения

Глава 9.

Многофазная двумерная фильтрация

9.1. Введение

9.2. Классификация двумерных задач

9.2.1. Площадные задачи (х—у)

9.2.2. Профильные задачи (х—r)

9.2.3. Задачи с одиночной скважиной (r—z)

9.2.4. Общие замечания

9.3. Методы решения и их сравнение

9.3.1. Дискретизация в двумерном случае

9.3.2. Устойчивость решений SS и IMPES-методов при двумерной фильтрации

9.3.3. Сравнение различных методов решения уравнений

9.4. Граничные условия

9.4.1. Дифференциальная постановка

9.4.2. Условия совместимости и ограничения

9.4.3. Конечно-разностная формулировка граничных условий

9.5. Начальные условия

9.6. Моделирование водоносных пластов

9.7. Моделирование площадных и профильных задач

9.7.1. Использование криволинейной сетки

9.7.2. Учет отдельных скважин

9.7.3. Явления, связанные с ориентацией сетки

9.8. Моделирование задач с одиночной скважиной

9.8.1. Учет членов отбора (модель скважины)

9.8.2. Сопоставление устойчивости решения и эффективности различных способов учета проводимостей

9.8.3. Практические соображения

9.9. Заключительные замечания

Глава 10.

Решение уравнений с блочно-пятидиагональными матрицами

10.1. Введение

10.2. Прямые методы 2

10.3. Итерационные методы

10.3.1. Метод BSOR

10.3.2. Итерационный метод ADI

10.3.3. Метод SIP

10.3.4. Сравнение результатов итерационных методов

10.4. Сравнение результатов итерационных и прямых методов

10.5. Заключительные замечания

Глава 11.

Трехмерные задачи и методы их решения

11.1. Введение

11.2. Однофазная фильтрация

11.2.1. Основное уравнение и его дискретизация

11.2.2. Специальные методы для решения трехмерных задач

11.2.3. Прямые методы решения

11.2.4. Итерационные методы

11.2.5. Сравнение методов

11.3. Многофазная фильтрация

11.3.1. Основные методы решения и необходимые машинные затраты

11.3.2. Методы решения матричных уравнений

11.4. Заключительные замечания

Глава 12.

Специальные вопросы

12.1. Введение

12.2. Псевдофункции

12.2.1. Модель вертикального равновесия (Коутс и др., 1971)

12.2.2. Другие псевдофункции

12.3. Метод трубок тока и связанные с ним модели

12.4. Моделирование задач с переменным давлением насыщения

12.5. Моделирование систем, не описываемых с помощью моделей нелетучей нефти

12.5.1. Моделирование «смешивающегося» вытеснения

12.5.2. Моделирование композиционных эффектов

12.6. Функции от насыщенности, зависящие от истории процесса разработки

12.6.1. Физическая модель гистерезиса

12.6.2. Учет гистерезиса в численных расчетах

12.7. Моделирование трещиноватых пластов

12.8. Автоматический выбор временного шага

12.9. Заключительные замечания

Глава 13.

Практические соображения

13.1. Разработка программ

13.1.1. Разработка математической модели

13.1.2. Разработка численной модели

13.1.3. Разработка машинной модели (программы)

13.2. Использование программ

13.2.1. Этапы модельного исследования

13.2.2. Выбор и разработка модели

13.2.3. Подгонка параметров модели по истории разработки

13.3. Заключительные замечания

Приложение А. Элементы матричной алгебры

А.1. Введение

А.2. Основные понятия

А.2.1. Поле

А.2.2. Вектор

А.2.3. Линейные векторные пространства

А.2.4. Системы линейных уравнений. Матрицы

А.2.5. Определитель матрицы

А.2.6. Собственные значения и собственные векторы

А.2.7. Нормы векторов и матриц

А.2.8. Дополнительные определения

А.З. Некоторые фундаментальные теоремы

Список литературы